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2.8 Zentraler elastischer Stoß

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die wechselwirkenden Körper gerade auf einander treffen. Konkreter heißt dies, dass die Bahnen auf denen die Körper sich bewegen auf einer Linie liegen. In der Physik bezeichnet man einen Stoß unter diesen Bedingungen als einen zentralen eindimensionalen Stoß.

Ein Beispiel für nicht zentrale zweidimensionale Stöße ist Billard. Hierbei sind die Bahnen der Körper auf einer Ebene. (Bei dreidimensionalen Stößen sind die Bahnen der Körper im Raum.) In solchen Systemen gilt immer der Impulserhaltungssatz.

Bei diesem Stoß wird davon ausgegangen, dass die kinetische Energie der Körper erhalten bleibt und damit findet keine Umwandlung in andere Energiearten statt. Somit gilt der Energieerhaltungssatz für die mechanische Energie.

Es gilt somit der Impulserhaltungssatz: $$ p_1 + p_2 = {p^ \prime }_1 + {p^ \prime }_2 $$ $$ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot {v^ \prime }_1 + m_2 \cdot {v^ \prime }_2 $$

Und der Energieerhaltungssatz: $$ E_1 + E_2 = {E^ \prime }_1 + {E^ \prime }_2 $$ $$ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v^ 2 }_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v^ 2 }_2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v^{ \prime \space 2 }}_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v^{ \prime \space 2 }}_2 $$

Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich für \( {v^ \prime }_1 \) und \( {v^ \prime }_2 \) folgende Formeln: $$ {v^ \prime }_1 = \frac{ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot ( 2 \cdot v_2 - v_1 ) }{ m_1 + m_2 } $$ $$ {v^ \prime }_2 = \frac{ m_2 \cdot v_2 + m_1 \cdot ( 2 \cdot v_1 - v_2 ) }{ m_1 + m_2 } $$

Hier entstehen einige Sonderfälle von denen folgend vier betrachtet werden sollen.

Sonderfall Nr.1:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und aus den oben benannten Formeln ergibt sich folgendes: $$ {v^ \prime }_1 = v_2 $$ $$ {v^ \prime }_2 = v_1 $$ In diesem Fall stoßen die Körper also aneinander und tauschen ihre Geschwindigkeiten aus.

Sonderfall Nr.2:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse und die gleiche Geschwindigkeit. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und \( v_1 = -v_2 \). Aus dem Sonderfall Nr.1 lässt sich nun folgendes ableiten: $$ {v^ \prime }_1 = -v_1 $$ $$ {v^ \prime }_2 = v_1 $$ Nun bewegen sich die Körper mit der gleichen Geschwindigkeit in die jeweils entgegengesetzte Richtung.

Sonderfall Nr.3:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse und der Körper 2 ruht. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und \( v_2 = 0 \). Für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß gilt: $$ {v^ \prime }_1 = 0 $$ $$ {v^ \prime }_2 = v_1 $$ Das heißt die Körper tauschen ihre Geschwindigkeiten wieder aus.

Sonderfall Nr.4:
Der Körper 2 ruht und besitzt eine sehr viel größere Masse als der Körper 1. Daher gilt \( m_1 \ll m_2 \) und \( v_2 = 0 \). Für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß gilt: $$ {v^ \prime }_1 = -v_1 $$ $$ {v^ \prime }_2 = 0 $$ Der Körper 1 wird am Körper 2 „reflektiert” und seine Geschwindigkeit kehrt sich in der Richtung um, während die Geschwindigkeit des 2. Körpers null bleibt.

Hinweis:
Dieser Stoß ist eine Idealisierung und tritt so in der Realität nur näherungsweise auf.

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Aufgaben:

1.)
Beim Billard gehen wir nun davon aus, dass die Kugeln einen zentralen elastischen Stoß ausführen. Die Kugeln haben jeweils eine Masse von \( 200 g \). Die weiße Kugel trifft mit einer Geschwindigkeit von \( 5 \frac{ m }{ s } \) auf eine zweite ruhende Kugel. Welche Geschwindigkeit hat die zweite Kugel nach dem Stoß?

Tipp Nr.1:
Es gilt: \( m_1 = m_2 \) und \( v_2 = 0 \)

Tipp Nr.2:
Die Masse ist irrelevant.

Lösung:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse und der Körper 2 ruht. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und \( v_2 = 0 \). Die Körper tauschen ihre Geschwindigkeiten demnach aus. $$ v_{ zweite \space Kugel } = v_{ weiße \space Kugel } = 5 \frac{ m }{ s } $$

Lösung:
\( \frac{ m }{ s } \)

2.)
Bei einem Stoß zweier Köper gilt \( m_1 = 4 kg \) und \( m_2 = 3 kg \). Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind \( {v^ \prime }_1 = 5 \frac{ m }{ s } \) und \( {v^ \prime }_2 = 2 \frac{ m }{ s } \). Wenn der Körper 2 sich vor dem Stoß mit \( v_2 = 7,3 \frac{ m }{ s } \) bewegt, welche Geschwindigkeit hat der erste Körper vor dem Stoß?

Tipp Nr.1:
Nutze den Impulserhaltungssatz.

Tipp Nr.2:
Die bekannte Gleichung muss umgestellt werden.

Lösung:
Der Impulserhaltungssatz besagt: $$ p_1 + p_2 = {p^ \prime }_1 + {p^ \prime }_2 $$ $$ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot {v^ \prime }_1 + m_2 \cdot {v^ \prime }_2 $$ Um die Geschwindigkeit des 1. Körpers vor dem Stoß zu errechnen stellt man die Gleichung nach \( v_1 \) um. $$ m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot {v^ \prime }_1 + m_2 \cdot {v^ \prime }_2 - m_2 \cdot v_2 $$ $$ v_1 = \frac{ m_1 \cdot {v^ \prime }_1 + m_2 \cdot {v^ \prime }_2 - m_2 \cdot v_2 }{ m_1 } $$ $$ v_1 = \frac{ 4 kg \cdot 5 \frac{ m }{ s } + 3 kg \cdot 2 \frac{ m }{ s } - 3 kg \cdot 7,3 \frac{ m }{ s } }{ 4 kg } \approx 1 \frac{ m }{ s } $$

Lösung:
\( \frac{ m }{ s } \)

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